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js 中的 number 为何很怪异

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js 中的 number 为何很怪异
声明:需要读者对二进制有一定的了解
对于 JavaScript 开发者来说,或多或少都遇到过 js 在处理数字上的奇怪现象,比如:
> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004
> 0.1 + 1 – 1
0.10000000000000009
> 0.1 * 0.2
0.020000000000000004
> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 3
9007199254740996
如果想要弄明白为什么会出现这些奇怪现象,首先要弄清楚 JavaScript 是怎样编码数字的。
1. JavaScript 是怎样编码数字的
JavaScript 中的数字,不管是整数、小数、分数,还是正数、负数,全部是浮点数,都是用 8 个字节(64 位)来存储的。
一个数字(如 12、0.12、-999)在内存中占用 8 个字节(64 位),存储方式如下:
0 – 51:分数部分(52 位)
52 – 62:指数部分(11 位)
63:符号位(1 位:0 表示这个数是正数,1 表示这个数是负数)
符号位很好理解,用于指明是正数还是负数,且只有 1 位、两种情况(0 表示正数,1 表示负数)。
其他两部分是分数部分和指数部分,用于计算一个数的绝对值。
1.1 绝对值计算公式
1: abs = 1.f * 2 ^ (e – 1023)             0 < e < 2047
2: abs = 0.f * 2 ^ (e – 1022)             e = 0, f > 0
3: abs = 0                                e = 0, f = 0
4: abs = NaN                              e = 2047, f > 0
5: abs = ∞ (infinity, 无穷大)              e = 2047, f = 0
说明:
这个公式是二进制的算法公式,结果用 abs 表示,分数部分用 f 表示,指数部分用 e 表示
2 ^ (e – 1023) 表示 2 的 e – 1023 次方
因为分数部分占 52 位,所以 f 的取值范围为 00…00(中间省略 48 个 0) 到 11…11(中间省略 48 个 1)
因为指数部分占 11 位,所以 e 的取值范围为 0(00000000000) 到 2047(11111111111)
从上面的公式可以看出:
1 的存储方式:1.00 * 2 ^ (1023 – 1023)(f = 0000…, e = 1023,… 表示 48 个 0)
2 的存储方式:1.00 * 2 ^ (1024 – 1023)(f = 0000…, e = 1024,… 表示 48 个 0)
9 的存储方式:1.01 * 2 ^ (1025 – 1023)(f = 0100…, e = 1025,… 表示 48 个 0)
0.5 的存储方式:1.00 * 2 ^ (1022 – 1023)(f = 0000…, e = 1022,… 表示 48 个 0)
0.625 的存储方式:1.01 * 2 ^ (1021 – 1023)(f = 0100…, e = 1021,… 表示 48 个 0)
1.2 绝对值的取值范围与边界
从上面的公式可以看出:
1.2.1 0 < e < 2047
当 0 < e < 2047 时,取值范围为:f = 0, e = 1 到 f = 11…11, e = 2046(中间省略 48 个 1)
即:Math.pow(2, -1022) 到 ~= Math.pow(2, 1024) – 1(~= 表示约等于)
这当中,~= Math.pow(2, 1024) – 1 就是 Number.MAX_VALUE 的值,js 所能表示的最大数值。
1.2.2 e = 0, f > 0
当 e = 0, f > 0 时,取值范围为:f = 00…01, e = 0(中间省略 48 个 0) 到 f = 11…11, e = 0(中间省略 48 个 1)
即:Math.pow(2, -1074) 到 ~= Math.pow(2, -1022)(~= 表示约等于)
这当中,Math.pow(2, -1074) 就是 Number.MIN_VALUE 的值,js 所能表示的最小数值(绝对值)。
1.2.3 e = 0, f = 0
这只表示一个值 0,但加上符号位,所以有 +0 与 -0。
但在运算中:
> +0 === -0
true
1.2.4 e = 2047, f > 0
这只表示一种值 NaN。
但在运算中:
> NaN == NaN
false
> NaN === NaN
false
1.2.5 e = 2047, f = 0
这只表示一个值 ∞ (infinity, 无穷大)。
在运算中:
> Infinity === Infinity
true
> -Infinity === -Infinity
true
1.3 绝对值的最大安全值
从上面可以看出,8 个字节能存储的最大数值是 Number.MAX_VALUE 的值,也就是 ~= Math.pow(2, 1024) – 1。
但这个数值并不安全:从 1 到 Number.MAX_VALUE 中间的数字并不连续,而是离散的。
比如:Number.MAX_VALUE – 1, Number.MAX_VALUE – 2 等数值都无法用公式得出,就存储不了。
所以这里引出了最大安全值 Number.MAX_SAFE_INTEGER,也就是从 1 到 Number.MAX_SAFE_INTEGER 中间的数字都是连续的,处在这个范围内的数值计算都是安全的。
当 f = 11…11, e = 1075(中间省略 48 个 1)时,取得这个值 111…11(中间省略 48 个 1),即 Math.pow(2, 53) – 1。
大于 Number.MAX_SAFE_INTEGER:Math.pow(2, 53) – 1 的数值都是离散的。
比如:Math.pow(2, 53) + 1, Math.pow(2, 53) + 3 不能用公式得出,无法存储在内存中。
所以才会有文章开头的现象:
> Math.pow(2, 53)
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 1
9007199254740992
> Math.pow(2, 53) + 3
9007199254740996
因为 Math.pow(2, 53) + 1 不能用公式得出,就无法存储在内存中,所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数,Math.pow(2, 53),然后存储在内存中,这就是失真,即不安全。
1.4 小数的存储方式与计算
小数中,除了满足 m / (2 ^ n)(m, n 都是整数)的小数可以用完整的 2 进制表示之外,其他的都不能用完整的 2 进制表示,只能无限的逼近一个 2 进制小数。
(注:[2] 表示二进制,^ 表示 N 次方)
0.5 = 1 / 2 = [2]0.1
0.875 = 7 / 8 = 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 = [2]0.111
# 0.3 的逼近
0.25 ([2]0.01) < 0.3 < 0.5 ([2]0.10)
0.296875 ([2]0.0100110) < 0.3 < 0.3046875 ([2]0.0100111)
0.2998046875 ([2]0.01001100110) < 0.3 < 0.30029296875 ([2]0.01001100111)
… 根据公式计算,直到把分数部分的 52 位填满,然后取最靠近的数
0.3 的存储方式:[2]0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011
(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110011, e = 1021)
从上面可以看出,小数中大部分都只是近似值,只有少部分是真实值,所以只有这少部分的值(满足 m / (2 ^ n) 的小数)可以直接比较大小,其他的都不能直接比较。
> 0.5 + 0.125 === 0.625
true
> 0.1 + 0.2 === 0.3
false
为了安全的比较两个小数,引入 Number.EPSILON [Math.pow(2, -52)] 来比较浮点数。
> Math.abs(0.1 + 0.2 – 0.3) < Number.EPSILON
true
1.5 小数最大保留位数
js 从内存中读取一个数时,最大保留 17 位有效数字。
> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110011
0.30000000000000000
0.3
> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110010
0.29999999999999993
> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
0.30000000000000004
> 0.0000010100011110101110000101000111101011100001010001111100
0.020000000000000004
2. Number 对象中的常量
2.1 Number.EPSILON
表示 1 与 Number 可表示的大于 1 的最小的浮点数之间的差值。
Math.pow(2, -52)
用于浮点数之间安全的比较大小。
2.2 Number.MAX_SAFE_INTEGER
绝对值的最大安全值。
Math.pow(2, 53) – 1
2.3 Number.MAX_VALUE
js 所能表示的最大数值(8 个字节能存储的最大数值)。
~= Math.pow(2, 1024) – 1
2.4 Number.MIN_SAFE_INTEGER
最小安全值(包括符号)。
-(Math.pow(2, 53) – 1)
2.5 Number.MIN_VALUE
js 所能表示的最小数值(绝对值)。
Math.pow(2, -1074)
2.6 Number.NEGATIVE_INFINITY
负无穷大。
-Infinity
2.7 Number.POSITIVE_INFINITY
正无穷大。
+Infinity
2.8 Number.NaN
非数字。
3. 寻找奇怪现象的原因
3.1 为什么 0.1 + 0.2 结果是 0.30000000000000004
与 0.3 的逼近算法类似。
0.1 的存储方式:[2]0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010
(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1019)
0.2 的存储方式:[2]0.0011001100110011001100110011001100110011001100110011010
(f = 1001100110011001100110011001100110011001100110011010, e = 1020)
0.1 + 0.2: 0.0100110011001100110011001100110011001100110011001100111
(f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111, e = 1021)
但 f = 00110011001100110011001100110011001100110011001100111 有 53 位,超过了正常的 52 位,无法存储,所以取最近的数:
0.1 + 0.2: 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100
(f = 0011001100110011001100110011001100110011001100110100, e = 1021)
js 读取这个数字为 0.30000000000000004
3.2 为什么 Math.pow(2, 53) + 1 结果是 Math.pow(2, 53)
因为 Math.pow(2, 53) + 1 不能用公式得出,无法存储在内存中,所以只有取最靠近这个数的、能够用公式得出的其他数。
比这个数小的、最靠近的数:
Math.pow(2, 53)
(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000000, e = 1076)
比这个数大的、最靠近的数:
Math.pow(2, 53) + 2
(f = 0000000000000000000000000000000000000000000000000001, e = 1076)
取第一个数:Math.pow(2, 53)。
所以:
> Math.pow(2, 53) + 1 === Math.pow(2, 53)
true

 

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