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Python 的 heapq 模块源码分析

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起步
heapq 模块实现了适用于Python列表的最小堆排序算法。

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堆是一个树状的数据结构,其中的子节点都与父母排序顺序关系。因为堆排序中的树是满二叉树,因此可以用列表来表示树的结构,使得元素 N 的子元素位于 2N + 1 和 2N + 2 的位置(对于从零开始的索引)。

本文内容将分为三个部分,第一个部分简单介绍 heapq 模块的使用;第二部分回顾堆排序算法;第三部分分析heapq中的实现。

heapq 的使用
创建堆有两个基本的方法:heappush() 和 heapify(),取出堆顶元素用 heappop()。

heappush() 是用来向已有的堆中添加元素,一般从空列表开始构建:

import heapq

data = [97, 38, 27, 50, 76, 65, 49, 13]
heap = []

for n in data:
heapq.heappush(heap, n)

print(‘pop:’, heapq.heappop(heap)) # pop: 13
print(heap) # [27, 50, 38, 97, 76, 65, 49]
如果数据已经在列表中,则使用 heapify() 进行重排:

import heapq

data = [97, 38, 27, 50, 76, 65, 49, 13]

heapq.heapify(data)

print(‘pop:’, heapq.heappop(data)) # pop: 13
print(data) # [27, 38, 49, 50, 76, 65, 97]
回顾堆排序算法
堆排序算法基本思想是:将无序序列建成一个堆,得到关键字最小(或最大的记录;输出堆顶的最小 (大)值后,使剩余的 n-1 个元素 重又建成一个堆,则可得到n个元素的次小值 ;重复执行,得到一个有序序列,这个就是堆排序的过程。

堆排序需要解决两个问题:

如何由一个无序序列建立成一个堆?
如何在输出堆顶元素之后,调整剩余元素,使之成为一个新的堆?
新添加元素和,如何调整堆?
先来看看第二个问题的解决方法。采用的方法叫“筛选”,当输出堆顶元素之后,就将堆中最后一个元素代替之;然后将根结点值与左、右子树的根结点值进行比较 ,并与其中小者进行交换;重复上述操作,直至叶子结点,将得到新的堆,称这个从堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

20190107132151.jpg

如上图所示,当堆顶 13 输出后,将堆中末尾的 97 替代为堆顶,然后堆顶与它的子节点 38 和 27 中的小者交换;元素 97 在新的位置上在和它的子节点 65 和 49 中的小者交换;直到元素97成为叶节点,就得到了新的堆。这个过程也叫 下沉 。

让堆中位置为 pos 元素进行下沉的如下:

def heapdown(heap, pos):
endpos = len(heap)
while pos < endpos:
lchild = 2 * pos + 1
rchild = 2 * pos + 2
if lchild >= endpos: # 如果pos已经是叶节点,退出循环
break
childpos = lchild # 假设要交换的节点是左节点
if rchild < endpos and heap[childpos] > heap[rchild]:
childpos = rchild
heap[pos], heap[childpos] = heap[childpos], heap[pos] # 交换
pos = childpos
再来看看如何解决第三个问题:新添加元素和,如何调整堆?这个的方法正好与 下沉 相反,首先将新元素放置列表的最后,然后新元素与其父节点比较,若比父节点小,与父节点交换;重复过程直到比父节点大或到根节点。这个过程使得元素从底部不断上升,从下至上恢复堆的顺序,称为 上浮 。

将位置为 pos 进行上浮的代码为:

def heapup(heap, startpos, pos): # 如果是新增元素,startpos 传入 0
while pos > startpos:
parentpos = (pos – 1) // 2
if heap[pos] < heap[parentpos]:
heap[pos], heap[parentpos] = heap[parentpos], heap[pos]
pos = parentpos
else:
break
第一个问题:如何由一个无序序列建立成一个堆?从无序序列的第 n/2 个元素 (即此无序序列对应的完全二叉树的最后一个非终端结点 )起 ,至第一个元素止,依次进行上浮:

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heapq 源码分析
添加新元素到堆中的 heappush() 函数:

def heappush(heap, item):
“””Push item onto heap, maintaining the heap invariant.”””
heap.append(item)
_siftdown(heap, 0, len(heap)-1)
把目标元素放置列表最后,然后进行上浮。尽管它命名叫 down ,但这个过程是上浮的过程,这个命名也让我困惑,后来我才知道它是因为元素的索引不断减小,所以命名 down 。下沉的过程它也就命名为 up 了。

def _siftdown(heap, startpos, pos):
newitem = heap[pos]
# Follow the path to the root, moving parents down until finding a place
# newitem fits.
while pos > startpos:
parentpos = (pos – 1) >> 1
parent = heap[parentpos]
if newitem < parent:
heap[pos] = parent
pos = parentpos
continue
break
heap[pos] = newitem
一样是通过 newitem 不断与父节点比较。不一样的是这里缺少了元素交换的过程,而是计算出新元素最后所在的位置 pos 并进行的赋值。显然这是优化后的代码,减少了不断交换元素的冗余过程。

再来看看输出堆顶元素的函数 heappop():

def heappop(heap):
“””Pop the smallest item off the heap, maintaining the heap invariant.”””
lastelt = heap.pop() # raises appropriate IndexError if heap is empty
if heap:
returnitem = heap[0]
heap[0] = lastelt
_siftup(heap, 0)
return returnitem
return lastelt
通过 heap.pop() 获得列表中的最后一个元素,然后替换为堆顶 heap[0] = lastelt ,再进行下沉:

def _siftup(heap, pos):
endpos = len(heap)
startpos = pos
newitem = heap[pos]
# Bubble up the smaller child until hitting a leaf.
childpos = 2*pos + 1 # 左节点,默认替换左节点
while childpos < endpos:
# Set childpos to index of smaller child.
rightpos = childpos + 1 # 右节点
if rightpos < endpos and not heap[childpos] < heap[rightpos]:
childpos = rightpos # 当右节点比较小时,应交换的是右节点
# Move the smaller child up.
heap[pos] = heap[childpos]
pos = childpos
childpos = 2*pos + 1
# The leaf at pos is empty now. Put newitem there, and bubble it up
# to its final resting place (by sifting its parents down).
heap[pos] = newitem
_siftdown(heap, startpos, pos)
这边的代码将准备要下沉的元素视为新元素 newitem ,将其当前的位置 pos 视为空位置,由其子节点中的小者进行取代,反复如此,最后会在叶节点留出一个位置,这个位置放入 newitem ,再让新元素进行上浮。

再来看看让无序数列重排成堆的 heapify() 函数:

def heapify(x):
“””Transform list into a heap, in-place, in O(len(x)) time.”””
n = len(x)
for i in reversed(range(n//2)):
_siftup(x, i)
这部分就和理论上的一致,从最后一个非叶节点 (n // 2) 到根节点为止,进行下沉。

总结
堆排序结合图来理解还是比较好理解的。这种数据结构常用于优先队列(标准库Queue的优先队列用的就是堆)。 heapq 模块中还有很多其他 heapreplace ,heappushpop 等大体上都很类似。

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